Un modelo de resistencia de materiales establece una relación entre las fuerza aplicadas, también llamadas cargas o acciones, y los esfuerzos y desplazamientos inducidos por ellas. Típicamente las simplificaciones geométricas y las restricciones impuestas sobre el modo de aplicación de las cargas hacen que el campo de deformaciones y tensiones sean sencillos de calcular.
Para el diseño mecánico de elementos con geometrías complicadas la resistencia de materiales suele ser insuficiente y es necesario usar técnicas basadas en la teoría de la elasticidad o la mecánica de sólidos deformables más generales. Esos problemas planteados en términos de tensiones y deformaciones pueden entonces ser resueltos de forma muy aproximada con métodos numéricos como el análisis por elementos finitos.
Tabla de contenidos
2 Hipótesis cinemática
2.1 Hipótesis cinemática en elementos lineales
2.2 Hipótesis cinemática en elementos superficiales
3 Ecuación constitutiva
4 Ecuaciones de equivalencia
5 Ecuaciones de equilibrio
5.1 Ecuaciones de equilibrio en elementos lineales
5.2 Ecuaciones de equilibrio en elementos bidimensionales
6 Véase también
7 Bibliografía
Enfoque de la resistencia de materiales
Hipótesis cinemática establece como serán las deformaciones o el campo de desplazamientos para un determinado tipo de elementos bajo cierto tipo de solicitudes.
Para piezas prismáticas las hipótesis más comunes son la hipótesis de Bernouilli-Navier para la flexión y la hipótesis de Saint-Venant para la torsión.
Ecuación constitutiva que establece una relación entre las deformaciones o desplazamientos deducibles de la hipótesis cinemática y las tensiones asociadas. Estas ecuaciones son casos siempre casos particulares de las ecuaciones de Lamé-Hooke.
Ecuaciones de equivalencia, son ecuaciones en forma de integral que relacionan las tensiones con los esfuerzos internos.
Ecuaciones de equilibrio que relacionan los esfuerzos internos con las fuerzas exteriores.
En las aplicaciones prácticas el análisis es sencillo, se construye un esquema ideal de cálculo formado por elementos unidimensionales o bidimensionales, y se aplican fórmulas preestablecidas en base al tipo de solicitación que presentan los elementos. Esas fórmulas preestablecidas que no no necesitan ser deducidas para cada caso, se basan en el esquema de cuatro puntos anterior. Más concretamente la resolución práctica de un problema de resistencia de materiales sigue los siguientes pasos:
Cálculo de esfuerzos, se plantean las ecuaciones de equilibrio y ecuaciones de compatibilidad que sean necesarias para encontrar los esfuerzos internos en función de las fuerzas aplicadas.
Análisis resistente, se calculan las tensiones a partir de los esfuerzos internos. La relación entre tensiones y deformaciones depende del tipo de solicitación y de la hipótesis cinemática asociada: flexión de Bernouilli, flexión de Timoshenko, tracción, pandeo, torsión de Coulomb, teoría de Collignon para tensiones cortantes, etc.
Análisis de rigidez, se calculan los desplazamientos máximos a partir de las fuerzas aplicadas o los esfuerzos internos. Para ello puede recurrirse directamente a la forma de la hipótesis cinemática o bien a la ecuación de la curva elástica, las fórmulas vectoriales de Navier-Bresse o los teoremas de Castigliano.
Hipótesis cinemática
Hipótesis cinemática en elementos lineales
Hipótesis de Navier-Bernouilli, que se usa para elementos lineales alargados sometidos a flexión cuando las deformaciones por cortante resultan pequeñas.
Hipótesis de Saint-Venant para la extensión, usada en piezas con esfuerzo normal para zonas de la viga alejadas de la zona de aplicación de las cargas.
Hipótesis de Saint-Venant para la torsión, se usa para piezas prismáticas sometidas a torsión y en piezas con rigidez torsional grande.
Para placas y láminas sometidas a flexión se usan dos hipótesis, que se pueden poner en correspondencia con las hipótesis de vigas
Hipótesis de Reissner-Mindlin
Las ecuaciones de equivalencia expresan los esfuerzos resultantes a partir de la distribución de tensiones. Gracias a ese cambio es posible escribir ecuaciones de equilibrio que relacionen directamente las fuerzas aplicadas con los esfuerzos internos
En elementos lineales rectos las coordenadas cartesinas para representar la geometría y expresar tensiones y esfuerzos, se escogen normalmente con el eje X paralelo al eje baricéntrico de la pieza, y los ejes Y y Z coincidiendo con las direcciones principales de inercia. En ese sistema de coordenadas la relación entre esfuerzo normal(Nx), esfuerzos cortantes(Vy, Vz), el momento torsor (Mx) y los momentos flectores (My, Mz) es:
Para elementos bidimensionales es común tomar un sistema de dos coordenadas (cartesiano o curvilíneo) coincidentes con la superficie media, estando la tercera coordenada alineada con el espesor. Para una placa plana de espesor 2t y con un sistema de coordenadas en el que el plano XY coincide con su plano medio. Los momentos flectores y momento torsor por unidad de área en función de las tensiones vienen dados por:
Donde las tensiones que aparecen son las componentes del tensor tensión para una pieza prismática:
Si en ellas tratamos de substituir las tensiones por los esfuerzos internos llegamos a las ecuaciones de equilibrio de la resistencia de materiales. El procedimiento, que se detalla a continuación, es ligeramente diferente para elementos unidimensionales y bidimensiona
Ecuaciones de equilibrio en elementos lineales
En una viga recta horizontal, alineada con el eje X, y en la que las cargas son verticales y situadas sobre el plano XY, las ecuaciones de equilibrio relacionan el momento flector (Mz), el esfuerzo cortante (Vy) con la carga vertical (qy) y tienen la forma:
Ecuaciones de equilibrio en elementos bidimensionales
Las ecuaciones de equilibrio para elementos bidimensionales (placas) en flexión análogas a las ecuaciones de la sección anterior para elementos lineales (vigas) relacionan los momentos por unidad de ancho (mx, my, mxy), con los esfuerzos cortantes por unidad de ancho (vx, my) y la carga superficial vertical (qs):
Véase también
Conceptos de resistencia de materiales: rigidez, equilibrio mecánico, flexión, torsión.
Mecánica de sólidos deformables: tensión, deformación, elasticidad.
Elementos resistentes lineales: vigas, pilares, celosías, arcos.
Elementos resistentes superficiales: placas y láminas, membranas.
Métodos de cálculo: cálculo de esfuerzos, teoremas de Castigliano, ecuaciones de Navier-Bresse, teoremas de Mohr, método matricial de la rigidez.
Bibliografía
Timoshenko S., Strength of Materials, 3rd edition, Krieger Publishing Company, 1976, ISBN 0-88275-420-3
Den Hartog, Jacob P., Strength of Materials, Dover Publications, Inc., 1961, ISBN 0-486-60755-0
Popov, Egor P., Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1990, ISBN 0-13-279258-3
Monleón Cremades, Salvador, Análisis de vigas, arcos, placas y láminas, Universidad Politécnica de Valencia, 1999, ISBN 84-7721-769-6
Obtenido de http://es.wikipedia.org/wiki/Resistencia_de_materiales